矩阵相关概念

单位矩阵

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。

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逆矩阵

一个n阶 方阵 A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB = BA = E 并称B是A的一个逆矩阵。E为单位矩阵。A的逆矩阵记作$A^{-1}$ 。当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。 可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵(奇异矩阵)又称降秩矩阵。

np.linalg.inv(A)  #求A的逆矩阵，若矩阵A可逆，则|A|!=0

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正定矩阵

对称阵A为正定矩阵充分必要条件是，A的特征值全部>0。 对称阵A为半正定矩阵充分必要条件是，A的特征值全部>=0。

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矩阵的转置

把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记住$A^T$ 。 矩阵的转置也是一种运算。 $(A^{T})^{T} = A$
$(A+B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
$(\lambda A)^{T} = \lambda A^{T}$
$(AB)^{T} = B^T A^T$

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对称矩阵

设A为n阶方阵，如果满足$A^T = A$ ,那么A称为对称矩阵，简称对称阵。

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共轭矩阵

当$ A = (a{ij}) $为复矩阵时，用$ \bar {a{ij}} $表示$ a{ij} $的共轭复数，记$ \bar A = (\bar {a{ij}}) $,$ \bar A $称为$ A $的共轭矩阵。 共轭矩阵满足下述运算规律(设A，B为复矩阵，$ \lambda $为复数，且运算都是可行的)；$ \bar {A+B} = \bar A + \bar B \bar {\lambda A} = \bar \lambda \bar A \bar {AB} = \bar A \bar B $ a.H为矩阵a的共轭转置(先求矩阵a的共轭矩阵，然后再进行转置)

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方阵行列式

由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式，记作|A|或det A。

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正交矩阵

如果n阶矩阵A满足$A^T A = E$ 即$A^{-1} = A^T$ ,那么称A为正交矩阵，简称正交阵.

特征向量

设A是n阶矩阵，如果数$\lambda$ 和n维非零列向量x使关系式$Ax=\lambda x$ 成立，那么，这样的数$\lambda$ 称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值$\lambda$ 的特征向量。 4和2是特征值，后面是特征值所对应的特征向量。

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矩阵的迹

矩阵的迹为矩阵对角线各元素之和。

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克拉默法则

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两个矩阵行数和列数相同，则称为同型矩阵。

元素都为零的矩阵称为零矩阵

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若一n行n列的复数矩阵$U$ 满足：
$ U^H U= UU^H = E{n} $其中，$ U^H $为$ U $的共轭转置，$ E{n} $为n阶单位矩阵，则$ U $称为酉矩阵(幺正矩阵)。 一个简单的充分必要判断准则是：$ U^{-1} = U^H $ ,即酉矩阵的共轭转置和它的逆矩阵相等。

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奇异值分解

假设M是一个$m$ x$n$ ,如果存在一个分解使得
$ M=U \sum V^ $其中U是$ m $x$ m $阶酉矩阵；$ \sum $是半正定$ m $x$ n $阶对角矩阵；而$ V^ $为共轭转置，是$ n $x$ n $阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。$ \sum $ 的对角线上的元素为M的奇异值。

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对角矩阵

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,…,an)

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