凸函数

定义：函数$f: \mathcal R^{n} \to \mathcal R$是凸的，如果$dom f$是凸集，且对于任意$x, y \in dom f$和任意$0 \le \theta \le 1$，有

$$f(\theta x + (1-\theta)y) \le \theta f(x) + (1-\theta)f(y)$$

图象代码

当$\theta = 0$时，f(y) = f(y)成立，
当$\theta = 1$时，f(x) = f(x)成立, 当$\theta = \frac{1}{2}$时，$f(\frac{x+y}{2}) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$

---

从几何意义上看，上述不等式意味着点(x, f(x))和(y, f(y))之间的线段，即从x到y的弦，在函数f的图像上方(如上图)。

---

Ref：
1.Convex Optimization (Stephen Boyd)
2.支持向量机：理论，算法与拓展(田英杰)